Leo estaba haciendo una división. Una simple. 1 entre 3. 0,333... Los treses no paraban. Había llenado media línea del cuaderno y seguían saliendo.
—Mamá, no sé si lo estoy haciendo bien. Esto nunca se acaba.
Su madre se acercó desde el sofá. Su padre seguía de viaje.
—¿Qué pasa?
—Que uno entre tres no termina. Salen treses sin parar.
—Así es. Es un decimal periódico.
—Pero eso no puede ser un número de verdad. Los números terminan.
Luna, que estaba en la mesa haciendo sus propios deberes, levantó la vista.
—Claro que es un número. Es un tercio. 0,333... es exactamente un tercio.
—Exactamente, exactamente… no puede ser. Siempre aparece un 3 más… No se acaba nunca.
Luna abrió la boca para responder y se quedó pensando. Leo tenía razón en algo: no podías escribir todos los decimales. Pero el número existía. ¿Cómo podía existir algo que no podías terminar de escribir?
Su madre volvió con una hoja de papel y dibujó un círculo.
—Leo, imagina que esta es una tarta. La divido en tres partes exactamente iguales. –Dibujó dos líneas, creando tres porciones idénticas.— Cada porción es un tercio de la tarta. ¿Existe cada porción?
—Sí.
—¿Puedes comértela?
—Sí.
—Entonces un tercio existe. Es real. Puedes tocarlo, comerlo. El problema no es el número. El problema es que nuestra forma de escribirlo con decimales no alcanza a capturarlo del todo.
Leo miró el dibujo. La porción estaba ahí, completa, con bordes definidos. No le faltaba nada.
—Entonces 0,333... no es casi un tercio. Es un tercio exacto.
—Exacto. Los puntos suspensivos no significan aproximado. Significan esto sigue para siempre de forma predecible.
Luna había estado escuchando con una expresión extraña. De pronto soltó:
—Espera. Si 0,333... es exactamente un tercio... entonces 0,333... por tres es exactamente uno.
—Sí —confirmó su madre.
—Pero 0,333... por tres es 0,999...
Silencio. Algo no cuadraba.
—Entonces... ¿0,999... es igual a 1?
Leo se giró hacia su hermana.
—Eso no puede ser. 0,999... no es 1. Son diferentes.
—Pero acabo de demostrarlo —Luna estaba genuinamente confundida—. Un tercio por tres es uno. Y 0,333... por tres es 0,999... Entonces tienen que ser iguales.
—Luna, acabas de descubrir una de las paradojas más famosas de las matemáticas. Y tiene razón: 0,999... y 1 son el mismo número. –aseveró su madre sonriendo con ternura.
La demostración
—No me lo creo —dijo Leo tozudo cruzándose de brazos.
—Te lo demuestro de otra forma —su madre cogió el papel—. Vamos a llamar a 0,999... con una letra. Digamos que x = 0,999... –explicó mientras lo escribía.— Ahora multiplico por 10.
Y escribió en otra línea 10x = 9,999...
—Si resto la primera ecuación de la segunda –siguió anotando cada paso en una línea diferente
10x - x = 9,999... - 0,999...
9x = 9
x = 1
Leo siguió los pasos con el ceño fruncido. Cada paso era correcto. No había trampa.
—Entonces... el 0,999... de verdad es 1 –comentó finalmente asombrado.
—Son dos formas de escribir el mismo número. Como dos y 2. Palabras diferentes, mismo valor.
Luna también estaba fascinada.
—Es como si el número se escondiera detrás de los nueves infinitos. Parece que le falta algo, pero no le falta nada.
—Exacto. La infinitud de los nueves completa lo que parece faltar.
Aquella noche, Luna seguía dándole vueltas mientras intentaba dormir.
Imaginó una barra de progreso de un videojuego. 90%... 99%... 99,9%... 99,99%... La barra nunca llegaba al 100%. Siempre faltaba un poquito.
Pero si la barra pudiera avanzar infinitas veces, cada vez acercándose más... al final no habría distancia entre ella y el 100%. Estarían en el mismo sitio.
Infinito no era muchísimo. Era sin final. Y sin final significaba que no quedaba hueco.
Imaginó un juego donde los números periódicos fueran códigos secretos. 0,333... era la llave que abría la puerta del tercio. 0,142857142857... era la del séptimo. Y 0,999... era la puerta secreta al 1. Parecía diferente, pero llevaba al mismo lugar.
Por otra parte, Leo soñó con números infinitos misteriosos que abrían portales a otras dimensiones y planetas.
P.D. Los decimales periódicos no son números incompletos. Son números perfectos escritos en un código infinito. Y a veces, como con 0,999..., el código esconde una sorpresa: que dos caminos diferentes llevan exactamente al mismo destino.