Era sábado por la mañana y la familia estaba en el salón. El padre había sacado papel cuadriculado y una regla.
—Os propongo un reto —dijo—. Dibujad un cuadrado de lado 1. Ahora medid la diagonal.
Leo dibujó el cuadrado con cuidado. Colocó la regla en diagonal.
—Más o menos... 1,4 y pico.
—¿Y pico cuánto?
Leo ajustó la regla.
—1,41... no sé, hay decimales.
Luna ya estaba con la calculadora.
—Si el lado es 1, la diagonal es raíz de 2. Sale 1,41421356...
—¿Y sigue?
—Sigue. No para.
—Como los decimales periódicos —dijo Leo—. Como el 0,333...
—No exactamente —intervino su madre desde el sofá—. Los periódicos repiten un patrón. Mira el 0,333... siempre treses. O el 0,142857142857... siempre la misma secuencia. Pero √2...
Luna miró la calculadora.
—No hay patrón. Los decimales siguen pero sin repetirse nunca.
—Hace dos mil quinientos años —contó el padre—, los pitagóricos creían que todo en el universo podía expresarse con números enteros o fracciones. Proporciones exactas. Armonía perfecta.
—¿Y qué pasó? —preguntó Leo.
—Descubrieron la diagonal del cuadrado. Un número que existía claramente (puedes dibujarlo, medirlo, tocarlo) pero que no podía escribirse como fracción de ninguna manera.
—¿Cómo sabían que no podía?
—Lo demostraron. Supusieron que sí se podía escribir como fracción y llegaron a una contradicción. Eso significa que la suposición era falsa.
Luna frunció el ceño.
—Entonces √2 existe pero no se puede escribir exactamente. Ni con decimales ni con fracciones.
—Exacto. Lo llamaron inexpresable. Hoy los llamamos números irracionales. No porque sean locos, sino porque no son ratio, no son razón, no son fracción.
—Quiero ver la demostración —dijo Luna.
Su padre cogió el papel.
—Vale. Supongamos que √2 SÍ se puede escribir como fracción. Digamos √2 = a/b, donde a y b son enteros sin factores comunes (fracción irreducible).
Escribió:
√2 = a/b
—Si elevamos al cuadrado —continuó escribiendo:
2 = a²/b²
a² = 2b²
—Esto significa que a² es par. Y si a² es par, entonces a también es par. Así que a = 2k para algún entero k.
—Vaaaale... —Luna seguía atenta.
—Sustituimos:
(2k)² = 2b²
4k² = 2b²
2k² = b²
—Ahora b² también es par. Entonces b también es par.
—Pero espera —interrumpió Luna—. Si a y b son los dos pares, tienen factor común 2. ¡Pero habíamos dicho que la fracción era irreducible!
—Exacto. Contradicción. Nuestra suposición inicial era falsa. √2 no puede ser fracción.
Leo había seguido la demostración con los ojos muy abiertos.
—Entonces hay números que existen pero que no puedes escribir completos de ninguna forma.
—Puedes escribir √2. Eso es una forma exacta de escribirlo. Pero si quieres decimales, nunca terminarás.
—¿Hay más números así? —preguntó Luna.
—Infinitos. √3, √5, cualquier raíz de un número que no sea cuadrado perfecto. Y luego están los famosos: π, el número e...
—¡Pi! —Leo lo reconoció—. 3,14159...
—Exacto. Pi tampoco es fracción. Y va más allá: pi no es ni siquiera una solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros.
Luna parecía abrumada y fascinada a la vez.
—Entonces la mayoría de números no se pueden escribir.
—De hecho, casi todos los números reales son irracionales. Los racionales (fracciones) son una minoría infinita dentro de una infinitud mayor.
—Eso es... muuuy raro.
—Es hermoso —dijo su madre—. Los números que usamos cada día (1, 2, 3, las fracciones) son como islas en un océano infinito de números que nunca podremos escribir completos.
Aquella tarde, Luna y Leo inventaron un juego. Intentaba aproximarse a √2 usando fracciones.
1/1 = 1 (demasiado pequeño)
2/1 = 2 (demasiado grande)
3/2 = 1,5 (cerca)
7/5 = 1,4 (más cerca)
17/12 = 1,4166... (muy cerca)
41/29 = 1,4137... (casi casi)
Cada fracción se acercaba más, pero ninguna llegaba exactamente.
—Es como perseguir algo que siempre está un paso más allá —le dijo a Luna.
—Pero puedes acercarte todo lo que quieras —respondió ella—. El número está ahí, existe. Solo que no puedes atraparlo con fracciones.
Juntos imaginaron un videojuego donde los números irracionales fueran tesoros imposibles de capturar del todo. Podías acercarte, rodearlos, aproximarte infinitamente... pero siempre quedaba un hueco. El desafío no era alcanzarlos, sino ver quién se acercaba más.
Los números perfectos eran fáciles. Los irracionales eran el verdadero reto.
P.D. Hay números que existen pero que no puedes escribir completos. No es un defecto de las matemáticas: es su belleza. La diagonal de un simple cuadrado esconde un infinito sin patrón. A veces, lo más simple alberga misterios enormes.